受到梁永祺老师的启发, 在这里记录一些令人(我)眼前一亮的数学. 也许正是这样令人感动的美妙思想激励着我们不断前进吧.

  • (动力系统) 当\(n\)趋于无穷时, 数列\(a_n = 6^n\)的首项系数(记为\(l(a_n)\))为$k$的概率为\(\log_k (k+1)\). 更准确地说, \(\lim_{n \to \infty} \frac{\# \{ n :l(a_n) = k \} }{n} = \log_k (k+1).\) 这个问题可以转化为单位圆周上的线性动力系统问题, 上述等式蕴涵了Birkhoff遍历理论的基本思想, 即在遍历系统中``空间概率 = 频率概率‘’.

  • (复分析) Cousin第一、第二问题: 给定零点与极点(位置与重数)的亚纯函数的存在性与构造(复平面上的结论是Mittag-Leffler定理和Weierstrass定理), 及其自然的上同调刻画.

  • (Galois理论) 化圆为方、三等分角的不可能性、一元高次方程不存在求根公式.

  • (泛函分析) 压缩映像原理:

  • (拓扑) Borsuk–Ulam定理

  • (概率论/随机游走):

  • (图论) 哥尼斯堡七桥/一笔画问题、四色定理

  • (图论/算法) ``稳定婚姻问题‘’的Gale–Shapley算法

  • (数论) 二平方和定理、四平方和定理

  • (几何/拓扑) 球面几何与双曲几何、闭曲面的分类

  • (微分几何) Gauss–Bonnet公式

  • (黎曼几何) 任何二维球面上必存在至少三条测地线; Grove–Gromoll定理: 对于二维球面上的任何度量, 倘若所有测地线均为闭测地线，那么所有测地线长度相等.

  • (博弈论) Arrow不可能定理

  • (动力系统) 照明问题: 房间中的每个点都能被光源照亮吗?

  • (模型论) 关于超乘积(ultraproduct)的Łoś定理:

  • (黎曼曲面) Belyi定理, Grothendieck的``Dessins d’Enfants’’:

  • (数论/代数几何/黎曼曲面) 紧黎曼曲面 = 代数曲线 = 函数域

  • (李群/楼理论) 楼与(B,N)-pair的对应, Bruhat分解的几何解释

  • (数论) Weil猜想

  • (岩泽理论) 分圆域的类数公式、主猜想的思想 ``解析\(p\)-进\(L\)-函数 = 算术\(p\)-进\(L\)-函数 = 代数\(p\)-进\(L\)-函数’’

  • (谱理论) 听音辨股问题、Weyl定律、紧双曲曲面的闭测地线定理:

  • (自守表示) Eisenstein级数与代数群的谱理论

  • (算术几何) 椭圆曲线的模空间是代数曲线, 模问题的可表性与栈(stack)的想法 …

  • (算术拓扑) 纽结与素数的对应

  • (量子力学/表示论) Heisenberg群的表示、量子纠缠与theta对应